题目内容
19．[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗？
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外．请结合图④证明点D也不在⊙O内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度（α为锐角）得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；
（1）用含α的代数式表示∠ACD的度数；
（2）求证：点B、C、A、F四点共圆；
（3）求证：点F为BE的中点．
分析 【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，根据外角的性质得到∠ADB＞∠AEB，于是得到∠ADB＞∠ACB，于是得到结论；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，根据等腰三角形的性质即可得到∠ACD=90°-$\frac{1}{2}α$；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABE=90°-$\frac{1}{2}$α，同时代的∠ACD=∠ABE，即可得到结论；
（3）由B、C、A、F四点共圆，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解答 
【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D也不在⊙O内，
∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°-$\frac{1}{2}α$；
（2）∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°-$\frac{1}{2}$α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆；
（3）∵B、C、A、F四点共圆，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即点F为BE的中点．
点评 本题考查的是点与圆的位置关系、圆周角定理以及反证法的应用，掌握反证法的一般步骤、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
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