Question

18．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+xy+{y}^{2}=15}\\{3{x}^{2}-31xy+5{y}^{2}=-45}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 将①×3+②得x²-7xy+2y²=0，即（x-2y）（3x-y）=0，从而可得x=2y或3x=y，再分别代入方程①即可求得方程组的解．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+xy+{y}^{2}=15}&{①}\\{3{x}^{2}-31xy+5{y}^{2}=-45}&{②}\end{array}\right.$，
①×3+②，得：12x²-28xy+8y²=0，即x²-7xy+2y²=0，
左边因式分解，得：（x-2y）（3x-y）=0，
∴x=2y或3x=y，
将x=2y代入①，得：12y²+2y²+y²=15，即15y²=15，
解得：y=±1，
∴此时方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
将3x=y代入①，得：15x²=15，
解得：x=±1，
∴此时方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$；
综上，方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查解高次方程的能力，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．