Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点．
（1）求证：MN=PQ；
（2）如图2，当BD=$\frac{1}{3}BC$时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；
（3）若BC=6，请你直接写出当①BD=3；②BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成图形的形状．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质和三角形中位线定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质得出MQ∥PN，再根据矩形的判定解答即可；
（3）直接写出图形的形状即可．

解答 解：（1）∵△ABC与△AEF关于直线AD对称，如图1，

∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，
∵点M、N、P、Q分别是AB、BC、EF、EA的中点，
∴MN、PQ分别是△ABC和△AEF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，
∴MN=PQ；
（2）当BD=$\frac{1}{3}$BC时，点M、点N、点P、点Q围成的四边形是矩形．
连结BE、MN、PQ，如图2，

∵点M、点Q是AB、AE的中点．
∴MQ∥BE且MQ=$\frac{1}{2}$BE，
∵点N是BC中点，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵BD=$\frac{1}{3}$BC，
∴DN=BN-BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{6}$BC，
∴$\frac{DN}{BD}=\frac{1}{2}$
∵点B与点E关于直线AD对称，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴$\frac{PN}{BE}=\frac{DN}{BD}=\frac{1}{2}$
∴PN∥BE，PN=$\frac{1}{2}$BE，
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四边形MQNP是平行四边形，
∵MN=PQ，
∴四边形MQNP是矩形．
（3）当BD=3时，围成等腰三角形；
当BD=6时，围成矩形．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的性质进行分析，同时利用矩形的判定解题．