Question

如图，△ABC是边长为4cm的正三角形，点D为BC上一动点（不与B、C重合）沿直线AD将△ABC剪开，将△ABD的边AB与AC重合，拼在△ACE位置得四边形ADCE，连DE交AC于F．
（1）判断△ADE的形状并说明理由．
（2）当△ADE的面积最小时，①求BD的长．②判断AC与DE的位置关系并说明理由．
（3）在点D运动过程中，是否存在△ADE的面积等于S_△ABC的一半吗？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：图形的剪拼,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）直接利用等边三角形的判定方法得出即可；
（2）①利用当△ADE的面积最小时，即AD最小时，即AD⊥BC，求出即可；
②利用等腰三角形的性质得出AC与DE的位置关系；
（3）当△ADE的面积等于S_△ABC的一半时，表示出AD的长以及△ADE的高，进而得出其面积的等式．

解答：解：（1）△ADE是等边三角形，
理由：∵△ABC是边长为4cm的正三角形，点D为BC上一动点（不与B、C重合）沿直线AD将△ABC剪开，
将△ABD的边AB与AC重合，拼在△ACE位置得四边形ADCE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形；

（2）①当△ADE的面积最小时，即AD最小时，即AD⊥BC，
∵AB=4cm，
∴AD=ABsin60°=2

3

（cm），BD=

1

2

AB=2cm，
②AC⊥DE，
理由：∵AD⊥BC，
∴∠DAC=∠CAE=∠BAD=30°，
∴AC是∠DAE的角平分线，
∴AC与DE的位置关系是：AC⊥DE；

（3）设BD=x时，过点A作AF⊥BC于点F，
当△ADE的面积等于S_△ABC的一半时，AD=DE=

(2-x)2+12

，
AF=

3

2

(2-x)2+12

，
∴

1

2

S_△ABC=S_△ADE，
∴

1

2

×

1

2

×4×2

3

=2

3

=

1

2

×

3

2

×[（2-x）²+12]，
整理得：x²-4x+8=0，
∵b²-4ac=-16＜0，故此方程无解，
∴不存在△ADE的面积等于S_△ABC的一半．

点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，利用数形结合得出是解题关键．