Question

设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，设任何3个及3个以上的同色的点不共线．求证存在一个三角形，使得
（1）它的3个顶点涂有相同颜色；
（2）这三角形至少有一边上不包含另一种颜色的点．

Answer 1

考点：染色问题

专题：

分析：（1）根据题意直接得出对于任意的五点涂上红色、蓝色，则必有三点同色；
（2）若结论（2）不成立，可取顶点同色的三角形中面积最小的一个，进而得出矛盾，故得出原命题正确．

解答：证明：（1）∵S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，任何3个及3个以上的同色的点不共线，
∴对于任意的五点涂上红色、蓝色，则必有三点同色，结论（1）成立．

（2）若结论（2）不成立，可取顶点同色的三角形中面积最小的一个，
因为只有有限个三角形，这是可以做到的，记为△ABC，
由于此三角形的每一边上都有异色点，记为A₁，B₁，C₁，则△A₁B₁C₁也是同色三角形，
且面积小于△ABC的面积，这与△ABC面积的最小性矛盾；故（2）成立．

点评：此题主要考查了染色问题以及反证法的应用，利用反证法证明得出是解题关键．