Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=DC=2．P为AD上一点，且满足∠BPC=∠A．
（1）求证：△APB∽△DCP．
（2）求AP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形

专题：

分析：（1）根据平行线的性质得出∠APB=∠PBC，∠DPC=∠PCB，根据等腰梯形的性质，三角形内角和定理可得∠A=∠D，∠APB=∠DCP，根据相似三角形的判定定理推出即可；
（2）根据等腰梯形的性质得出∠A=∠D=∠BPC，根据平行线性质得出∠DPC=∠PCB，根据相似三角形的性质推出两三角形相似，根据相似三角形的性质即可得出答案．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，∠DPC=∠PCB，
∵AB=DC，
∴∠A=∠D，
∵∠BPC=∠A，
∴∠APB=∠DCP，
∴△APB∽△DCP；

（2）解：∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠A=∠D，
∵∠BPC=∠A，
∴∠D=∠BPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

=

AB

DP

，
即

AP

2

=

2

5-AP

，
解得AP=1或AP=4．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，相似三角形的对应边的比相等．