Question

3．如图，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，M为AC中点，AD与BM交于点G，那么S_△GBD：S_△MDC为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 过M作ME⊥BC于点E，则只要求得GD：ME的值即可，由中位线定理可知MD=$\frac{1}{2}$AD，由重心的性质可知GD=$\frac{1}{3}$AD，则可求得答案．

解答 解：
如图，过M作ME⊥BC于点E，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC中点，AD为BC边上的中线，
∵M为AC的中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD，
∴G为△ABC的重心，
∴GD=$\frac{1}{3}$AD，
∴$\frac{{S}_{△GBD}}{{S}_{△MDC}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•GD}{\frac{1}{2}CD•ME}$=$\frac{GD}{ME}$=$\frac{\frac{1}{3}AD}{\frac{1}{2}AD}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查三角形中位线和重心的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半、三角形重心是中线的三等分点是解题的关键．