Question

13．如图，过?ABCD中对角线的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H，试判断四边形EFGH的形状并说明理由．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角边角”证明△AOE和△COG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答．

解答 解：在平行四边形ABCD中，OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCG}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟记性质并求出三角形全等从而得到对角线被互相平分是解题的关键．