Question

17．如图，∠ACB=90°，D，E分别为BC，AB的中点，DE的延长线交AF于F，∠F=∠FEA．
（1）求证：四边形ACEF为平行四边形；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，可得CE=AE=BE，又由AF=CE，可得CE=AE=BE=AF，即可判定AF∥CE，则可得四边形ACEF是平行四边形；
（2）由当∠B=30°时，在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE=CE，即可得出结论．

解答 证明：∵D，E分别为BC，AB的中点，
∴FE∥AC，
∴∠FEA=∠EAC，
∵∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠F=∠FEA，
∴∠F=∠FEA=∠EAC=∠ECA，
而∠FAE为等腰△FAE的顶角，∠AEC为等腰△AEC的顶角，
∴∠FAE=∠AEC，
∴AF∥CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；
（2）解：当∠B=30°时，
在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE=CE，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．

点评 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．