Question

7．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF=AC，G是CE延长线上一点，CG=AB，连接AG，AF．
（1）试说明∠ABD=∠ACE；
（2）探求线段AF，AG有什么关系？并请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据的等角的余角相等，即可证明∠ACG=∠ABF；
（2）根据SAS推出△ABF≌△GCA即可解决问题；

解答 （1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°，∠GCA+∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠GCA，

（2）结论：AF=AG，AF⊥AG．理由如下：
在△ABF和△GCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CG}\\{∠ABF=∠GCA}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG，∠GAC=∠AFB，
∵∠AFB=∠ADB+∠FAD，∠GAC=∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF=∠ADF，
∵∠ADF=90°，
∴∠GAF=90°，
∴AG⊥AF，AG=AF．

点评 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用、同角的余角相等等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．