Question

7．点A是双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）上一点．
（1）如图1，若AB∥x轴，AC∥y轴，AB，AC分别交双曲线y=$\frac{1}{x}$于B，C两点，若AC=3，求AB的长；
（2）如图2，若AF∥y轴，交双曲线y=$-\frac{1}{x}$（x＞0）于F点，连接AO，FO，且OF⊥OA，求AF的长；
（3）如图3，连接OA交双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）于D点，DE∥x轴交y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象于E，求△ADE的面积．

Answer 1

分析 设出点A的坐标，
（1）先表示出C的坐标，进而得出AC=$\frac{3}{m}$，由AC=3建立方程求出m的值，即可得出AB；
（2）先表示出F的坐标，进而得出AF，利用勾股定理建立方程即可求出m的值即可得出结论；
（3）先确定出OA解析式，设出点D的坐标，进而用m表示出点D的坐标，E的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：设A（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），
（1）∵AC∥y轴，点C在y=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴C（m，$\frac{1}{m}$），
∴AC=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$=3，
∴m=1，
∵AB∥x轴，点B在y=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴（$\frac{m}{4}$，$\frac{4}{m}$），
∴AB=m-$\frac{m}{4}$=$\frac{3}{4}$m=$\frac{3}{4}$；

（2）∴AF∥y轴，点F在y=-$\frac{1}{x}$的图象上，
∴F（m，-$\frac{1}{m}$），
∴AF=$\frac{4}{m}$-（-$\frac{1}{m}$）=$\frac{5}{m}$，
∵OF⊥OA，
∴△AOF是直角三角形，
∴OA²+OF²=AF²，
∴m²+$\frac{16}{{m}^{2}}$+m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{25}{{m}^{2}}$，
∴m=-$\sqrt{2}$（舍）或m=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\frac{5}{m}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；

（3）∵A（m，$\frac{4}{m}$），
∴直线OA的解析式为y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x，
设D（n，$\frac{1}{n}$）（n＞0），
∵点D在直线OA上，
∴$\frac{1}{n}=\frac{4}{{m}^{2}}×n$，
∴m²=4n²，
∵m＞0，n＞0，
∴m=2n，
∴D（$\frac{m}{2}$，$\frac{2}{m}$），
∵DE∥x轴，点E在y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴E（2m，$\frac{2}{m}$），
∴DE=$\frac{3}{2}$m，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE×（$\frac{4}{m}$-$\frac{2}{m}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{2}$．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，直角三角形的性质，待定系数法，三角形的面积公式，解本题的关键是用反比例函数的解析式表示出点的坐标，是一道简单题目．