Question

【题目】有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．

求证：四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）∠B与∠C的度数之和120°；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A；根据四边形的内角和为360°，得出∠B与∠C的度数之和；

（2）如图连接OC，根据条件先证△BED≌△BEO，再根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠BOE=∠BDE；设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α；再根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA=α， 根据三角形内角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α；从而得证.

（3）如图，过点作OM⊥BC于点M，由四边形DBCF是半对角四边形，得出∠ABC+∠ACB=120°，∠BAC=60°，∠BOC=2∠BAC=120°；再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB=30°，BC=2BM=BO=BD；根据△DBG～△CBA得出答案.

试题解析：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°，

∴∠B+∠C=120°，

即∠B与∠C的度数之和120°；

（2）在△BED和△BEO中，

，

∴△BED≌△BEO（SAS），

∴∠BDE=∠BOE，

又∵∠BCF=∠BOE，

∴∠BCF=∠BDE，

如图，连结OC，

设∠EAF=α，.则∠AFE=2∠EAF=2α，

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=α，

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图，作过点OM⊥BC于点M.

∵四边形DBCF是半对角四边形，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴BC=2BM=BO=BD，

∵DG⊥OB，

∴∠HGB=∠BAC=60°，

∵∠DBG=∠CBA，

∴△DBG∽△CBA，

∴ ，

∵DH=BG，BG=2HG，

∴DG=3HG，

∴，

∴.