Question

12．如图1，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D．
（1）求证：DB=DC=DI；
（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan$\frac{∠CAD}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）要证明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）由AB是⊙O的直径，得到BD⊥AD，由于OI⊥AD，得到OI∥BD，于是求得AD=2BD，BD=2OI，设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，得到比例式代入求得IF=$\frac{2}{\sqrt{5}+2}$x，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，OI⊥AD，
∴OI∥BD，
∵OA=OB，
∴AI=DI，
由（1）知ID=BD，
∴AD=2BD，BD=2OI，
设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，
∴$\frac{AI}{OE}=\frac{IF}{OF}$，
即$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{IF}{x-IF}$，
∴IF=$\frac{2}{\sqrt{5}+2}$x，
∵OE⊥BD，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴tan∠DAE=tan$\frac{∠CAD}{2}$=$\frac{IF}{AI}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}+2}x}{2x}$=$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能正确作出辅助线并求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．