Question

1．如图，四边形ABCD是矩形，点E为CB延长线上一点，DE交AB于F，且∠AED=2∠CED，若BE=1，AB=3，求DF的长．

Answer 1

分析 取DF的中点G，连接AG，由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，得出∠ADE=∠CED，由勾股定理求出AE，证明∠AEG=∠AGE，得出AG=AE=$\sqrt{10}$，即可求出DF的长．

解答 解：取DF的中点G，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
根据勾股定理得：AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵G为DF的中点，
∴AG=DG=EG=$\frac{1}{2}$DF，
∴∠ADE=∠GAD，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=2∠ADG，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AG=AE=$\sqrt{10}$，
∴DF=2AG=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．