Question

17．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，垂足为点E，且CE交对角线BD于点F．若∠A=120°，四边形AEFD的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，求EF的值．

Answer 1

分析 首先利用已知条件求出∠ABC=2∠ABD=60°，进而可得到∠ECB=30°，设EF=x，利用分别x表示出△ABD和△EFB的面积，再根据S_{四边形AEFD}=S_△ABD-S_△EFB=$\frac{AB×CE}{2}-\frac{EF×EB}{2}$，即$\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}x•3x}{2}$-$\frac{x•\sqrt{3}x}{2}$建立方程，解方程求出x的值即可．

解答 解：菱形ABCD中，∠DAB=120°，AB=AD，
∴∠ABD=30°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ECB=30°，
设EF=x，
在Rt△EFB中，∠ABD=30°，
∴2EF=BF，
则BE²=（2x）²-x²=3 x²
则BE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△CEB中，∠ECB=30°，
∴2EB=BC，
∵BC=AB，
∴E点为AB中点，BC=AB=2$\sqrt{3}$，
∵四边形AEFD的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴S_{四边形AEFD}=S_△ABD-S_△EFB=$\frac{AB×CE}{2}-\frac{EF×EB}{2}$，
即$\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}x•3x}{2}$-$\frac{x•\sqrt{3}x}{2}$，
∴EF=x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用、一元二次方程的运用、三角形面积公式以及直角三角形30°角的性质，解题的关键是利用勾股定理建立方程，利用方程思想解决几何图形问题，题目的综合性较强，计算量较大，是一道不错的中考题．