Question

19．如图，已知正方形ABCD，直线AB绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）如图1，当α=20°，∠ADF的度数为25°；当0°＜α＜45°时，△BEF的形状是等腰直角三角形；
（2）如图2，当90°＜α＜180°时，猜测线段AB，EF，DF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若正方形ABCD的边长为6，当α=30°时，DE的长为$3\sqrt{6}+3\sqrt{2}$；当α=120°时，DE的长为$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用轴对称的性质以及等腰三角形的性质得出即可；
（2）由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，进而利用勾股定理得出答案；
（3）根据α=30°，α=120°两种情况进行解答即可．

解答 解：（1）当α=20°，则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF=25°，
∵点B关于直线AP的对称点为E，

∴EF=BF，AE=AB，
∴△AEF和△ABF关于直线AP对称，
∴∠3=∠4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥ED，
∵AE=AB，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（2）BF²+FD²=2AB²．
理由：如图2，
连接BD，

由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，
则∠BFD=∠BAD=90°，
故BF²+FD²=BD²，
则BF²+FD²=2AB²．
（3）正方形ABCD的边长为6，当α=30°时，DE=$3\sqrt{6}+3\sqrt{2}$；当α=120°时，DE=$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质、面积的计算方法；熟练掌握正方形和轴对称的性质得出等腰三角形，进一步得出角之间的关系是解决问题的关键．