Question

14．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA=2．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求AD•OC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由BC是⊙O的切线得到∠B=90°，然后证明△OCD≌△OCB，得到∠ODC=90°，即可得到结论；
（2）根据已知条件证明△ADB∽△ODC，得到AD•OC的值．

解答 证明：（1）如图1，连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠B=90°，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4
∵OA=OD，
∴∠2=∠3=∠1=∠4，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=90°，又∵CD过半径OD的外端点D，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接BD，
∵OC∥AD∴∠1=∠3=∠2，
又∠ADB=∠ODC=90°，
∴△ADB∽△ODC，$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AB}{OC}$，
∵OA=2，∴AB=4，
∴AD•OC=OD•AB=8．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．