Question

如图，长方形OABC边BC=4，AB=2．
（1）直线y=kx（k≠0），交边AB于点P，求k的取值范围；
（2）直线y=kx（k≠0），将长方形OABC的面积分成两部分，靠近y轴的一部分记作S，试写出S关于k的解析式；
（3）直线y=kx（k≠0），是否可能将长方形OABC的面积分成两部分的面积比为2：3？若能，求出k的值；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意直线y=kx必须相交于线段AB即可求得k的取值范围；
（2）分三种情况分别讨论求得；
（3）直线y=kx（k≠0），将长方形OABC的面积分成两部分的面积比为2：3，有两种情况，一种是靠近y轴的一部分是

2

5

，另一种是靠近y轴的一部分是

3

5

，进而列出方程，解方程即可求得．

解答：解：（1）∵直线y=kx（k≠0），交边AB于点P，
∴直线y=kx（k≠0）经过一、三象限，
∴k＞0，
把B（4，2）代入y=kx（k≠0），得2=4k，
解得k=

1

2

，
∴直线y=kx（k≠0），交边AB于点P，求k的取值范围为0＜k≤

1

2

；

（2）有三种情况：
①当直线y=kx交BC于P时，解

y=kx y=2

解得x=

2

k

，
∴P（

2

k

，2），
∴S=

1

2

×

2

k

×2=

2

k

，
即S=

2

k

（k＞

1

2

）；
②当直线y=kx经过B点时，
S=

1

2

×4×2=4，
③当直线y=kx交AB于P时，解

y=kx x=4

，解得y=4k，
∴S=S_矩形-S_△AOP=4×2-

1

2

×4×4k=8-8k，
即S=-8k+8（0＜k＜

1

2

）；
综上所述，S关于k的解析式为：S=

2 k (k＞ 1 2 ) 4(k= 1 2 ) -8k+8(0＜k＜ 1 2 )

；

（3）能；
∵S_矩形=8，直线y=kx（k≠0）将长方形OABC的面积分成两部分的面积比为2：3，
当直线y=kx交BC于P时，S_△POC=8×

2

5

=

16

5

，
∵S=

2

k

，
∴

2

k

=

16

5

，解得k=

5

8

；
当直线y=kx交AB于P时，S_△AOP=

16

5

，
∵S_△AOP=

1

2

×4×4k=8k，
∴8k=

16

5

，解得，k=

2

5

；
所以直线y=kx（k≠0），将长方形OABC的面积分成两部分的面积比为2：3时，k的值为

2

5

或

5

8

．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了直线上的点的特征，待定系数法求解析式，以及三角形的面积等，数形结合思想的运用是本题的关键．