题目内容
已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接利用顶点式求出函数解析式即可；
（2）首先得出△APM∽△ABE，则
=
①同理：
=
②，进而求出
+
是定值．
（2）首先得出△APM∽△ABE，则
| PM |
| BE |
| AP |
| AB |
| PN |
| AD |
| PB |
| AB |
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-3，
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3，
解得：a=
，
故抛物线的解析式为：y=
(x-1)2-3或y=
x2-
x-
；
（2）是定值，
+
=1，
理由：∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
∴
=
①
同理：
=
②，
①+②：
+
=
+
=1．
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3，
解得：a=
| 3 |
| 4 |
故抛物线的解析式为：y=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（2）是定值，
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
理由：∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
∴
| PM |
| BE |
| AP |
| AB |
同理：
| PN |
| AD |
| PB |
| AB |
①+②：
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
| AP |
| AB |
| PB |
| AB |
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，得出△APM∽△ABE是解题关键．
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