题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，且AB=AC，OA=BC，点D是线段OA上一点，且OD=
OA，过点D作x轴的平行线交线段AB于点E，△ABC的面积为8．
（1）求AB所在直线的解析式以及线段DE的长；
（2）点P是线段OB上一点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AB交y轴于点Q，设点P的坐标为（t，0），线段DQ长为y（y＞0），求y与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，M是射线DE上一点，是否存在t值，使△PMQ是以PQ为直角边的等腰三角形？若存在请求出t值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）求AB所在直线的解析式以及线段DE的长；
（2）点P是线段OB上一点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AB交y轴于点Q，设点P的坐标为（t，0），线段DQ长为y（y＞0），求y与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，M是射线DE上一点，是否存在t值，使△PMQ是以PQ为直角边的等腰三角形？若存在请求出t值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据三角形的面积，可得OA、BC的长，可得A点B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值；
（2）分类讨论：①当-2＜t＜-
时，②当-
≤t＜0，根据平行线的斜率相等，可得PQ的函数解析式，根据自变量的值，可得Q点的坐标，根据PQ的距离，可得函数解析式；
（3）根据等腰直角三角形，可得PQ与PM的关系，根据PQ⊥PM，可得两条直线的斜率的乘积为-1，再根据PQ=PM，可的方程组，根据解方程组，可得d答案．
（2）分类讨论：①当-2＜t＜-
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（3）根据等腰直角三角形，可得PQ与PM的关系，根据PQ⊥PM，可得两条直线的斜率的乘积为-1，再根据PQ=PM，可的方程组，根据解方程组，可得d答案．
解答：解：（1）由OA=BC，△ABC的面积为8，得
S△ABC=
OA•BC=8．
解得OA=BC=4．即A（0，4）
由AB=AC，OA⊥BO，得
OB=2，即B（-2，0），
设AB所在直线的解析式为y=kx+b，图象过点A、B，得
，解得
．
AB所在直线的解析式为y=2x+4，
由OD=
OA=1，即D（0，1）．
由DE∥x，得E点纵坐标为1，
当y=1时，2x+4=1，解得x=-
，
E（-
，1）．
DE的长为0-（-
）=
；
（2）如图1：
①当-2＜t＜-
时，由PQ∥AB，设PQ的函数解析式为y=2x+b，
y=0时，2t+b=0，解得b=-2t即Q（0，-2t）．
QD的长y=-2t-1；
②当-
≤t＜0时，如图：
，
由PQ∥AB，设PQ的函数解析式为y=2x+b，
y=0时，2t+b=0，解得b=-2t即Q（0，-2t）．
QD的长y=2t+1；
综上所述：y=
；
（3）如图3：
，
设Q（a，1），由（2）得P（t，0），Q（0，-2t）．
由△PMQ是以PQ为直角边的等腰三角形，得QP=PM，QP⊥PM．
kMP•kPQ=-1．得kMP=
×2=-1．t-a=2①．
QP2=MQ2即（-2t）2+t2=（a-t）2+12 ②．
联立①②得
，
化简，得
，
把①代入②得5t2=5，解得t=1（不符合题意的要舍去），t=-1，
把t=-1代入①得a=-1-2=-3，
即M（-3，1）．
S△ABC=
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解得OA=BC=4．即A（0，4）
由AB=AC，OA⊥BO，得
OB=2，即B（-2，0），
设AB所在直线的解析式为y=kx+b，图象过点A、B，得
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AB所在直线的解析式为y=2x+4，
由OD=
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由DE∥x，得E点纵坐标为1，
当y=1时，2x+4=1，解得x=-
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（2）如图1：
①当-2＜t＜-
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y=0时，2t+b=0，解得b=-2t即Q（0，-2t）．
QD的长y=-2t-1；
②当-
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，由PQ∥AB，设PQ的函数解析式为y=2x+b，
y=0时，2t+b=0，解得b=-2t即Q（0，-2t）．
QD的长y=2t+1；
综上所述：y=
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（3）如图3：
，设Q（a，1），由（2）得P（t，0），Q（0，-2t）．
由△PMQ是以PQ为直角边的等腰三角形，得QP=PM，QP⊥PM．
kMP•kPQ=-1．得kMP=
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QP2=MQ2即（-2t）2+t2=（a-t）2+12 ②．
联立①②得
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化简，得
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把①代入②得5t2=5，解得t=1（不符合题意的要舍去），t=-1，
把t=-1代入①得a=-1-2=-3，
即M（-3，1）．
点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式，（2）利用平行线的k值相等得出PQ函数解析式是解题关键，再分类讨论得出函数y与t的解析式，（3）利用垂线的k值的乘积为-1，等腰三角形的定义，得出方程组是解题关键．
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