Question

18．如图，△ABC中，AB=AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．
（1）求证：FE=FD；
（2）若∠CAD=∠CAB=24°，求∠EDF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理得到FE=$\frac{1}{2}$AB，根据直角三角形的性质得到FD=$\frac{1}{2}$AC，等量代换即可；
（2）根据平行线的性质得到∠EFC=∠BAC=24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC=48°，根据等腰三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE=$\frac{1}{2}$AB，
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，
∴FD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=AC，
∴FE=FD；
（2）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=24°，
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，
∴FD=AF．
∴∠ADF=∠DAF=24°，
∴∠DFC=48°，
∴∠EFD=72°，
∵FE=FD，
∴∠FED=∠EDF=54°．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．