如图1.在正方形ABCD中.点E.F分别在AB上和AD的延长线上.且BE=DF.连接EF.CE.CF.G为EF的中点.连接BG．(1)若CE=2.求FE的长,(2)连接AC.求证:BG垂直平分AC,(3)如图2.在菱形ABCD中.点E.F分别在AB上和AD的延长线上.且BE=DF.连接EF.G为EF的中点.连接BG.CG.过F作FH∥DC交CB的延长线于H.那么(2)中的结论还� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF、CE、CF，G为EF的中点，连接BG．
（1）若CE=2，求FE的长；
（2）连接AC，求证：BG垂直平分AC；
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点，连接BG、CG，过F作FH∥DC交CB的延长线于H，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．

分析（1）由四边形ABCD是正方形，得到BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，根据全等三角形的性质得到CE=CF，推出△ECF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连接AG，CG，根据等腰直角三角形的性质得到CG=$\frac{1}{2}$EF，证得AG=CG，根据全等三角形的性质得到∠ABG=∠CBG，即可得到结论；
（3）延长AG交FH于M，连接CM，根据平行线的性质得到∠AEG=∠GFM，根据全等三角形的性质得到AG=GM，MF=AE，根据平行四边形的性质得到AB=HF，通过△BAG≌△BCG，得到∠ABG=∠CBG，即可得到结论．

解答解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CDF=90°，
在△CBF与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴CE=CF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+ECD，
∴∠BCD=∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE=2$\sqrt{2}$，

（2）如图1，连接AG，CG，
∵△ECF是等腰直角三角形，G是EF的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
∵AG=$\frac{1}{2}$EF，
∴AG=CG，
在△BAG与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{AG=CG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△BCG，∠ABG=∠CBG，
∵BA=BC，
∴BG⊥AC，OA=OC，
∴BG垂直平分AC；

（3）成立，理由：如图2，延长AG交FH于M，连接CM，
∵AE∥FH，
∴∠AEG=∠GFM，
在△AEG与△MFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠GFM}\\{EG=FG}\\{∠AGE=∠MGF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△MFG，
∴AG=GM，MF=AE，
∵FH∥AB，AF∥AE，
∴四边形ABHF是平行四边形，
∴AB=HF，
∴BE=HM，
∵BE=DF=CH，
∴CH=HM，
∴∠MCH=∠BCA，∠ABC+∠H=180°，
∴∠BAC+∠BCA+∠MCH+∠HMC=180°，
即2∠BCA+2∠HCM=180°，
∴∠BCA+∠HCM=90°，
∴∠ACM=90°，
在Rt△ACM中，AG=GM，
∴CG=$\frac{1}{2}$AM=AG，
在Rt△BAG与Rt△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AG=CG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△BCG，
∴∠ABG=∠CBG，
∵BA=BC，
∴BG⊥AC，AO=CO，
∴BG垂直平分AC．