Question

2．问题探索：在坐标平面内描出点A（2，0），B（4，0），C（-1，0），D（-3，0）．
（1）分别求出线段AB中点，线段AC中点及线段CD中点的坐标，则线段AB中点的坐标与点A，B的坐标之间有什么关系？对线段AC中点和点A，C及线段CD中点和点C，D成立吗？
（2）已知点M（a，0），N（b，0），请写出线段MN的中点P的坐标（$\frac{a+b}{2}$，0）．
结论猜想：
（3）若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则MN的中点P的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
拓展应用：
（4）若在平面直角坐标系中的点M，点N的坐标分别为M（2，y），N（x，-2），且P为MN的中点，若将线段MN向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标为（6，4），则x=4，y=10．

Answer 1

分析 （1）线段AB中点的横纵坐标分别为点A，B的横纵坐标的和的一半；整个结论对线段AC中点和点A，C及线段CD中点和点C，D成立
（2）、（3）利用（1）的结论易得线段MN的中点P的坐标；
（4）先利用点平移的坐标特征得到线段MN向右平移3个单位后，点M、N的对应点的坐标为（5，y），（x+3，-2），再利用线段中点坐标公式得到$\frac{5+x+3}{2}$=6，$\frac{y-2}{2}$=4，然后解方程即可求出x和y．

解答 解：（1）如图所示，

由坐标系可知，线段AB中点坐标为（3，0），线段AC中点坐标为（0.5，0），线段CD中点的坐标为（-2，0），
∵线段AB中点的横坐标3=$\frac{2+4}{2}$，纵坐标为0=$\frac{0+0}{2}$，
∴线段AB中点的坐标是点A，B的坐标的和的一半；
∵线段AC的中点的横坐标为0.5=$\frac{-1+2}{2}$，纵坐标0=$\frac{0+0}{2}$，
∴线段AC中点的横纵坐标分别是点A，C横纵坐标的和的一半；
∵线段CD的中点的横坐标为-2=$\frac{-1+（-3）}{2}$，纵坐标0=$\frac{0+0}{2}$，
∴线段CD中点的横纵坐标分别是点C、D横纵坐标的和的一半；


（2）由（1）知，线段MN的中点P的坐标为（$\frac{a+b}{2}$，0），
故答案为：（$\frac{a+b}{2}$，0）；

（3）由（1）中规律知，MN的中点P的坐标为 （$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
故答案为：（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；

（4）将线段MN向右平移3个单位后，点M、N的对应点的坐标为（5，y），（x+3，-2），而它们的中点坐标为（6，4），
所以$\frac{5+x+3}{2}$=6，$\frac{y-2}{2}$=4，
解得x=4，y=10．
故答案为，4，10．

点评 本题考查了作图-平移变换及线段的中点坐标公式，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，解题时得出各线段中点坐标规律是解题关键．