Question

14．如图，∠MON=90°，点A，B分别在直线OM、ON上，BC是∠ABN的平分线．
（1）如图1，若BC所在直线交∠OAB的平分线于点D时，尝试完成①、②两题：
①当∠ABO=30°时，∠ADB=45°；
②当点A、B分别在射线OM、ON上运动时（不与点O重合），试问：随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，请求出∠ADB的度数；如果会，请求出∠ADB的度数的变化范围；
（2）如图2，若BC所在直线交∠BAM的平分线于点C时，将△ABC沿EF折叠，使点C落在四边形ABEF内点C′的位置，求∠BEC′+∠AFC′的度数．

Answer 1

分析 （1）①根据角平分线的定义得到∠DAB=$\frac{1}{2}$∠OAB=30°，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°，根据三角形的外角的性质计算即可；
②仿照①的作法计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠CAB+∠CBA=135°，根据翻转变换的性质、三角形内角和定理计算即可．

解答 解：（1）①∵∠ABO=30°，
∴∠OAB=60°，∠ABN=150°，
∵BC是∠ABN的平分线，AD是∠OAB的平分线，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠OAB=30°，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°，
∴∠ADB=∠ABC-∠DAB=45°，
故答案为：45；
②设∠ABO=α，
∵∠MON=90°，
∴∠BAD=45°-$\frac{α}{2}$，∠ABC=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=180°-∠ABC=90°+$\frac{α}{2}$，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=45°；

（2）∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAB+∠CBA=$\frac{1}{2}$（∠BAM+∠ABN）=135°，
∴∠C=45°，
∴∠CEC′+∠CFC′=2（180°-∠C）=270°，
∴∠BEC′+∠AFC′=360°-（∠CEC′+∠CFC′）=90°．

点评 本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°、翻转变换的性质是解题的关键．