Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为8，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定证得△OBC是等边三角形，则∠OCB=60°，所以由图中相关角与角间的和差关系易求∠OCD=90°，即直线CD与⊙O相切；
（2）在直角△OCD中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得到OD=2OC=16，则BD=OD-OB=16-8=8．

解答：解：（1）CD与⊙O相切，理由如下：
∵∠A=30°
∴∠BOC=2∠A=60°．
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，即OC⊥CD．
又OC是半径，
∴CD与⊙O相切；

（2）∵∠BOC=60°，∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=16，
∴BD=OD-OB=16-8=8．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．