Question

4．D、E是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的两点，满足∠DAE=135°，求证：CD²+BE²=DE²．

Answer 1

分析 将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，证明△DAE≌△DAF，得到DF=DE，根据勾股定理计算即可．

解答 证明：∵∠DAE=135°，∠BAC=90°，AB=AC，
将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，
则∠EAF=90°，BE=CF，∠ACF=∠ABE=45°，AE=AF，CF=BE，
∵∠DAE=135°，∠EAF=90°，
∴∠DAF=135°，
在△DAE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DAF，
∴DF=DE，
∠DCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴CD²+CF²=DF²．
∴CD²+BE²=DE²．

点评 本题考查的是勾股定理的应用、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、旋转变换的性质、勾股定理是解题的关键．