Question

9．如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN²=AM•AD，其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；
求证各个角的度数，再求得各边的长度，即可得出结论．
由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，等量代换得到AN²=AM•AD；

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；
∵∠ABE=∠CBD=36°，
∴∠DBE=36°，
同理∠KMN=∠MNL=∠NLH=∠LHK=∠HKM，
△AMK≌△BMN≌△CNL≌△DHL≌△EHK，
∴MN=NL=LH=HK=MK，
∴五边形MNLHK是正五边形，
∴五边形PFQNM∽五边形ABCDE，②正确．
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故③正确；
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．