Question

13．先化简，再求值
（a-$\frac{{a}^{2}}{a+b}$）（$\frac{a}{a+b}$-1）÷$\frac{b}{a+b}$，其中a，b分别为关于x的一元二次方程x²-$\sqrt{3}x$+1=0的两个根．

Answer 1

分析 将原式通分、消元后化简成-$\frac{ab}{a+b}$，再根据根与系数的关系即可得出a+b=$\sqrt{3}$、ab=1，将其代入-$\frac{ab}{a+b}$即可得出结论．

解答 解：（a-$\frac{{a}^{2}}{a+b}$）（$\frac{a}{a+b}$-1）÷$\frac{b}{a+b}$，
=$\frac{{a}^{2}+ab-{a}^{2}}{a+b}$×$\frac{a-（a+b）}{a+b}$×$\frac{a+b}{b}$，
=$\frac{ab}{a+b}$×$\frac{-b}{a+b}$×$\frac{a+b}{b}$，
=-$\frac{ab}{a+b}$．
∵a，b分别为关于x的一元二次方程x²-$\sqrt{3}x$+1=0的两个根，
∴a+b=$\sqrt{3}$，ab=1，
∴原式=-$\frac{ab}{a+b}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了分式的化简求值以及根与系数的关系，利用通分、消元将原式转出为-$\frac{ab}{a+b}$是解题的关键．