Question

7．如图，已知点A是双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上运动，则k的值是-4．

Answer 1

分析 连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由正比例函数和反比例函数的对称性可得知点O为线段AB的中点，再由等腰直角三角形的性质可得出OC=OA，从而可得出△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出k值．

解答 解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．

∵线段AB过原点O，且反比例函数图象关于原点对称，
∴点O为线段AB的中点．
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OC=OA．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠AOE=∠COF．
在△AOE和△COF中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO=90°}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF．
∵点A在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴有$\frac{1}{2}$×4=$\frac{1}{2}$|k|，
解得：k=±4．
∴点C在第四象限，
∴k=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是得出$\frac{1}{2}$×4=$\frac{1}{2}$|k|．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形面积间的关系结合反比例函数系数k的几何意义得出关于k的方程是关键．