Question

15．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC，BC，OC，那么下列结论：①PC²=PA•PB；②PC•OC=OP•CD；③OA²=OD•OP；④CD²＞BD•AD，正确的有①②③．

Answer 1

分析 ①证明△PBC∽△PCA，即可得到结论，这实际上是圆的切割线定理，正确；
②根据切线的性质定理，得OC⊥PC，求出△OCD∽△OPC，得出比例式即可，正确；
③根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案，正确；
④证△BDC∽△CDA，即可得出答案，错误．

解答 解：①∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴PC²=PA•PB；
②∵OC⊥PC，PC切⊙O于C，
∴∠PCO=∠CDO=90°，
∵∠COD=∠POC，
∴△OCD∽△OPC，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴PC•OC=OP•CD；
③∵△OCD∽△OPC，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OP}{OC}$，
∴OC²=OD•OP，
∵OA=OC，
∴OA²=OD•OP；
④∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△BDC∽△CDA，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴CD²=BD•AD，
∴①②③正确；④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．