Question

3．已知正方形ABCD和正方形CEFG，连结AF交BC于点O，点P是AF的中点，过点P作PH⊥DG于H，CD=2，CG=1．
（1）如图1，点D、C、G在同一直线上，点E在BC边上，求PH的长；
（2）把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）
①如图2，当点E落在AF上时，求CO的长；
②如图3，当DG=$\sqrt{7}$时，求PH的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形APGF是梯形，再判断出PH是梯形的中位线，得到PH=$\frac{1}{2}$（fg+ad）；
（2）①先判断出△COE∽△AOB，得到AO是CO的2倍，设出CO，表示出BO，AO，再用勾股定理计算，②先找出辅助线，再判断出△ARD≌△DSC，△CSG≌△GTF，求出AR+FT，最后用梯形中位线即可．

解答 解：（1）PH⊥CD，AD⊥CD，
∴PH∥AD∥FG，
∵点P是AF的中点，
∴PH是梯形APGF的中位线，
∴PH=$\frac{1}{2}$（FG+AD）=$\frac{3}{2}$，
（2）①∵∠CEO=∠B=90°，∠COE=∠AOB，
∴△COE∽△AOB，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，
设CO=x，
∴AO=2x，BO=2-x，
在△ABO中，根据勾股定理得，4+（2-x）²=（2x）²，
∴x=$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$或x=$\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$（舍），
∴CO=x=$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$．
②如图3，

分别过点A，C，F作直线DG的垂线，垂足分别为R，S，T，
∵∠ADR+∠CDS=90°，∠CDS+∠DCS=90°，
∴∠ADR=∠DCS，
∵∠ADR=∠CSD=90°，
∵AD=CD
∴△ARD≌△DSC，
∴AR=DS，
同理：△CSG≌△GTF，
∴SG=FT，
∴AR+FT=DS+SG=DG=$\sqrt{7}$，
同（1）的方法得，PH是梯形ARTF的中位线，
∴PH=$\frac{1}{2}$（AR+FT）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了梯形的中位线的求法，三角形全等的判定和性质，解本题的关键是构造出梯形，难点是作辅助线．