Question

12．已知△ABC是边长为a的等边三角形，D、E、F分别是AB、AC和BC边上的点．如图①，当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$．

（1）如图②，当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$；
（2）如图③，当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{4}$时，求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$；
（3）猜想：当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{n}$时，求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值是多少？直接写出结果（用代数式表示）

Answer 1

分析 （1）如图②中，作AM⊥BC于M，DF′⊥BC于F′，易证△DBF≌△FCE≌△EAD，设BC=3a，求出△BDF面积，△DEF面积即可解决问题．
（2）如图②中，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．设BC=4a，求出△BDF面积，△DEF面积即可解决问题．
（3）如图②中，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．设BC=na，求出△BDF面积，△DEF面积即可解决问题．

解答 解：（1）如图②中，作AM⊥BC于M，DF′⊥BC于F′，设BC=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=∠BAC=60°
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴AD=BF=CE=a，BD=CF=AE=2a，
∴△DBF≌△FCE≌△EAD，
∴S_△DBF=S_△ECF=S_△ADE，
在RT△BDF′中，∵∠DF′B=90°，∠B=60°，
∴BF′=$\frac{1}{2}$BD=a，DF=$\sqrt{3}$a，
∴BF=BF′=a，
∴F、F′共点．
∴S_△DBF=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∴S_△DEF=S_△ABC-3S_△BDF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²，
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}}{\frac{9\sqrt{3}}{4}{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$．
（2）如图②中，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．设BC=4a则BD=CF=AE=3a，AD=BF=CE=a，S_△ABC=4$\sqrt{3}$a²，
∵DN∥AM，
∴$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{3}{4}$，
∴DN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²
由（1）可知S_△DEF=S_△ABC-3S_△BDF=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$a²，
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{7}{16}$．
（3）如图③中，设BC=na，则BD=CF=AE=n-1，AD=BF=CE=a，DN=$\frac{（n-1）a}{2}\sqrt{3}$，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{（n-1）a}{2}\sqrt{3}$=$\frac{（n-1）{a}^{2}}{4}$$\sqrt{3}$，
∴S_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$n²a²-$\frac{3（n-1）{a}^{2}}{4}$$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{n}^{2}-3n+3}{{n}^{2}}$．

点评 本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，解题的关键巧妙是设未知数，求出相应三角形面积，属于中考常考题型．