Question

18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，已知CD=CA．
（1）求∠CAD的大小；
（2）已知P是$\widehat{AC}$的中点，E是线段AC上一点（不含端点，且AE＞EC），作EF⊥PC，垂足为F，连接EP，当EF+EP的最小值为6时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，由切线的性质得∠OCD=90°，再根据等腰三角形的性质得∠D=∠CAD，∠CAD=∠OCA，然后利用三角形内角和定理计算∠CAD的度数；
（2）连接OP，如图，利用圆周角定理得∠COD=2∠CAD=60°，则∠AOC=120°，再根据圆心角与弧的关系得到∠POC=∠AOP=60°，利用垂径定理得到OP⊥AC，则可判定△POC和△POA都是等边三角形，则AC垂直平分OP，OF交AC于E，如图，则EP=EO，利用两点之间线段最短得到OF=6，然后在Rt△POF中利用三角函数求OP的长即可．

解答 解：（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵CD=CA，OC=OA，
∴∠D=∠CAD，∠CAD=∠OCA，
∵∠D+∠OCD+∠OCA+∠CAD=180°，
即∠CAD+90°+∠CAD+∠CAD=180°，
∴∠CAD=30°；
（2）连接OP，如图，
∵∠COD=2∠CAD=60°
∴∠AOC=120°，
∵P是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠POC=∠AOP=60°，OP⊥AC，
∴△POC和△POA都是等边三角形，
∴AC垂直平分OP，
OF交AC于E，如图，则EP=EO，
∵EF+EP=EF+EO=OF，
∴此时EP+EF最小，即OF=6，
∵OF⊥PC，
∴∠PFO=90°，∠POF=$\frac{1}{2}∠$POC=30°
在Rt△POF中，∵cos∠POF=$\frac{OF}{OP}$，
∴OP=$\frac{6}{sin30°}$=4$\sqrt{3}$，
即⊙O的半径为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是证明△POC和△POA都是等边三角形．