Question

15．如图，四边形BFCD为平行四边形，点E是AF的中点．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△ADE≌△FCE，得出对应边相等即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFCD是平行四边形，根据直角三角形的性质，可得BD=CD，根据菱形的判定，可得答案．

解答 （1）证明∵AE是DC边上的中线，
∴AE=FE，
∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FCE}\\{∠DAE=∠CFE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF=DA．
（2）解：四边形BFCD是菱形；理由如下：
∵CD是△ABC的中线，
∴D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴BD=CF，
∵AB∥CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．