Question

6．如图，直线l经过点A（1，0），且与双曲线$y=\frac{m}{x}（{x＞0}）$交于点B（2，1），
过点P（p，p-1）（p＞1且p≠2）作x轴的平行线分别交曲线$y=\frac{m}{x}（{x＞0}）$和$y=-\frac{m}{x}（{x＜0}）$于点M，N．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）是否存在实数p，使得△AMN与△AMP的面积相等？若存在，求出所以满足条件的p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求反比例和一次函数的解析式；
（2）由于P点坐标为（p，p-1）得到点P在直线l上，则点M、N的纵坐标都为p-1，得到M（$\frac{2}{p-1}$，p-1），N（-$\frac{2}{p-1}$，p-1），可得MN=$\frac{4}{p-1}$，计算出S_△AMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{p-1}$•（p-1）=2，当p＞2时，S_△APM=$\frac{1}{2}$（p-$\frac{2}{p-1}$）（p-1）=$\frac{1}{2}$（p²-p-2），利用S_△AMN=S_△APM，得到$\frac{1}{2}$（p²-p-2）=2，然后解方程即可求解．

解答 解：（1）把B（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中得：m=2×1=2，
设直线l的解析式为：y=kx+b
把A（1，0）、B（2，1）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直线l的解析式为：y=x-1
（2）存在．理由如下：
∵P点坐标为（p，p-1），
∴点P在直线l上，
而MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
∴M（$\frac{2}{p-1}$，p-1），N（-$\frac{2}{p-1}$，p-1），
∴MN=$\frac{4}{p-1}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{p-1}$•（p-1）=2，
当p＞2时，如图，
S_△APM=$\frac{1}{2}$（p-$\frac{2}{p-1}$）（p-1）=$\frac{1}{2}$（p²-p-2），
∵S_△AMN=S_△APM，
∴$\frac{1}{2}$（p²-p-2）=2，
整理得，p²-p-6=0，解得p₁=-2（不合题意，舍去），p₂=3．
∴满足条件的p的值为3．

点评 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三角形的面积．