题目内容
17．数学课堂探究性活动蔚然成风，张老师在课堂上设置一道习题：（1）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的关系？直接写出结论，不必证明；
当点P在其他位置时，请同学们分组探究：
（2）当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明．
（3）当点P在矩形外部，如图3时，继续探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，不必证明．
分析 （1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证．
解答 证明：（1）如图1中，
∵Rt△ABP中，AB2=AP2-BP2，Rt△PDC中CD2=PD2-PC2，
∵AB=CD，
∴AP2-BP2=PD2-PC2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2；
（2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．
如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2，在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2，
在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2，在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，
∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2，
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2．
（3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2，在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2，
在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2，在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，
∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，
PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
点评 本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
53随堂测系列答案
如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b与x轴交于点A，与双曲线y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）交于点B，若S△AOB=2，则b的值是（ ）
某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
| 班级 | 最高分 | 平均分 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| 九（1）班 | 100 | 94 | b | 93 | 12 |
| 九（2）班 | 99 | a | 95.5 | 93 | 8.4 |
（2）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
如图，在平面直角坐标系中，点A是第二象限内双曲线y=-$\frac{2}{x}$上一点，直线AO与双曲线的另一个交点为B．