Question

2．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（2）如图2，若∠BAD=2∠DAC，求BD，CD的长．

Answer 1

分析 （1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因为AB⊥AC，且AB=AC=6，易得四边形ABCD为正方形，易得结果；
（2）连接OC，OB，OD，由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，BO=CO=DO=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，由圆周角定理得∠COD=60°，∠BOD=120°，△COD为等边三角形，求得CD，BD．

解答 解：（1）∵AD经过圆心O，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
∵AB⊥AC，且AB=AC=6，
∴四边形ABCD为正方形，
∴BD=CD=AB=AC=6；

（2）连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD，
∵AB⊥AC，AB=AC=6，
∴BC为直径，
∴BC=6$\sqrt{2}$，
∴BO=CO=DO=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
∵∠BAD=2∠DAC，
∴∠CAD=30°，∠BAD=60°，
∴∠COD=60°，∠BOD=120，
∴△COD为等边三角形，∠BOE=60°，
∴CD=CO=DO=3$\sqrt{2}$，
在直角三角形CDB中，BD=$\sqrt{3}$CD=3$\sqrt{6}$，
则BE=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵OE⊥BD，
∴BD=2BE=3$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，数形结合，作出适当的辅助线是解答此题的关键．