Question

11．如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x，y=-$\frac{1}{2}$x+6的图象交于点A，动点P从点O开始沿OA方向以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设正方形边长为m．|
（1）求点A的坐标；
（2）点P在线段OA上运动时，求m与运动时间t（秒）的关系式；
（3）在（2）的条件下，当正方形PQMN在△AOB的内部时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式，解方程组即可得到交点A的坐标；
（2）根据P在y=x上，可得P点坐标，根据PQ∥x轴，可得Q点的纵坐标，根据平行x轴的直线上两点间的距离等于大的横坐标减去小的横坐标，可得答案；
（3）根据正方形在△AOB的内部，可得PQ与P点纵坐标的关系：P的横坐标小于A的横坐标．

解答 解：联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$．
所以，点A的坐标为（4，4）；
（2）设P（t，t），由PQ∥x轴，得
Q点的纵坐标为t，把Q点的纵坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x+6，得
-$\frac{1}{2}$x+6=t．
解得x=12-2，
Q（12-2t，t）．
m=PQ=12-2t-t，
即m=12-3t；
（3）由在（2）的条件下，当正方形PQMN在△AOB的内部时，得
PQ小于P的纵坐标，
即12-3t≤t，
解得t≥3，
P在线段OA上，得
t＜4．
在（2）的条件下，当正方形PQMN在△AOB的内部时，t的取值范围是3≤t＜4．

点评 主要考查了一次函数综合题型，涉及联立两函数解析式求交点坐标，平行于x轴直线上两点间的距离，正方形的性质，利用正方形在三角形的内部得出不等式是解题关键．