Question

2．（1）如图1，点E在∠ACB的角平分线上，EF⊥CB，EG⊥CA，当∠GED绕点E旋转，设旋转过程中∠GEF的大小不变且两边与射线CB、CA交点分别为F′和G′，问EF′、EG′的值是否会变化？请说明理由；
（2）如图2，点E是∠ACB内一定点，将∠GEF绕点E旋转，设EF的两边与射线CB、CA分别交于点F和G，若在旋转过程中EF：EG的值不变，问∠GEF与∠C满足什么条件？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据角平分线性质得EG=EF，再由∠GEF=∠G′EF′得到∠GEG′=∠FEF′，则可根据“ASA”证明△EGG′≌△EFF′，所以EG′=EF′，于是可判断EF′：EG′的值为定值；
（2）过E点作EG′⊥CA于G′，EF′⊥CB于F′，如图2，由点E为定点得到EF′：EG′的值不变，加上EF：EG的值不变，所以可判断当G点旋转到于G′重合时，点F与F′重合，则∠GEF=∠G′EF′，然后利用四边形内角和得∠G′EF′+∠C=180°，所以∠GEF+∠C=180°．

解答 解：（1）EF′：EG′的值不变化．理由如下：
如图1，∵CE为角平分线，EG⊥CA，EF⊥CB，
∴EG=EF，
∵∠GEF=∠G′EF′，
∴∠GEF-∠G′EF=∠G′EF′-∠G′EF，
即∠GEG′=∠FEF′，
在△EGG′和△EFF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEG′=∠FEF′}\\{EG=EF}\\{∠EGG′=∠EFF′}\end{array}\right.$，
∴△EGG′≌△EFF′，
∴EG′=EF′，
∴EF′：EG′=1，即EF′：EG′的值为定值；
（2）∠GEF+∠C=180°．理由如下：
过E点作EG′⊥CA于G′，EF′⊥CB于F′，如图2，
∵点E为定点，
∴EF′：EG′的值不变，
而EF：EG的值不变，
所以当G点旋转到于G′重合时，点F与F′重合，
∴∠GEF=∠G′EF′，
∵∠G′EF′+∠C=360°-90°-90°=180°，
∴∠GEF+∠C=180°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（2）小题的关键是作EG′⊥CA于G′，EF′⊥CB于F′，说明∠GEF=∠G′EF′．