Question

17．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD相交于点G，AC与BD交于点F，连结0C，FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOA=60°，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确，根据三角形外角性质即可得出④正确．

解答 解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∴①正确
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，
∴在△BCF和△ACG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACG}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，∴②正确；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF=CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF=CG
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，∴③正确；
∵∠CDB=∠AEC，∠DCE=60°，
∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60°，∴④正确；
故选D．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．