Question

15．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．
①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD=3 cm．
②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM²、BN²与MN²之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求得AB的长，然后由翻折的性质可知DC′⊥AB，DC′=DC，最后根据S_ACD+S_ADB=S_△ABC即可求得CD的长；
（2）过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，首先证明△AMH≌△BPH，AM=BP，MH=PH，由线段垂直平分线的性质得到MN=NP，在Rt△NBP中利用勾股定理证明即可．

解答 解：（1）如图1所示．

在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$．
由翻折的性质可知：DC′⊥AB，DC′=DC．
∵S_ACD+S_ADB=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}AC•CD+\frac{1}{2}AB•C′D=\frac{1}{2}AC•CB$．
∴$\frac{1}{2}×6×CD+\frac{1}{2}×10×C′D=\frac{1}{2}×6×8$．
又∵CD=C′D，
∴3CD+5CD=24．
∴CD=3．
（2）AM²+BN²=MN²．
证明：过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP．

∵BP∥AC，
∴∠A=∠PBH
在△AMH和△BPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PBH}\\{AH=BH}\\{∠AHM=∠BHP}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△BPH．
∴AM=BP，MH=PH．
又∵NH⊥MP
∴MN=NP
∵BP∥AC，∠C=90°
∴∠NBP=90°
∴BP²+BN²=NP²
∴AM²+BN²=MN²．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．