Question

18．如图，点B的坐标（4，4），过点B作BA⊥x轴，垂足为A，作BC⊥y轴，垂足为C，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过BC的中点E，与AB交于点F，分别连接OE、CF，其交点为M，连接AM．求证：AM=AO．

Answer 1

分析 由A的坐标，以及E为BC中点，确定出OC与CE的长，根据勾股定理求出OE的长，过M作MN⊥OC于N，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CMO与三角形ECO相似，由相似得比例求出CM与OM的长，利用面积法求出MN的长，确定出M坐标，求出AM的长，即可得证．

解答 证明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
过M作MN⊥OC于N，
∵OE⊥CF，
∴∠CMO=∠OCE=90°，
∵∠COE=∠COE，
∴△CMO∽△ECO，
∴$\frac{OC}{OE}$=$\frac{CM}{CE}$=$\frac{OM}{OC}$，
即$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{CM}{2}$=$\frac{OM}{4}$，
解得：CM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OM$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
在△CMO中，由三角形的面积公式得：$\frac{1}{2}$×OC×MN=$\frac{1}{2}$×CM×OM，
即4MN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
解得：MN=$\frac{8}{5}$，
在△OMN中，由勾股定理得：ON=$\sqrt{O{M}^{2}-M{N}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
即M（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∵A（4，0），
∴由勾股定理得：AM=$\sqrt{（4-\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{16}{5}）^{2}}$=4=AO，
则AM=AO．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．