Question

10．如图，D为∠BAC的平分线上一点，BD=CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，下列结论：
①△CDE≌△BDF   
②AB+AC=2AF   
③∠BAC+∠BDC=180°
④∠DAC=∠BCD；
其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①由角平分线上的点到角两边的距离相等，得出DF=DE，由HL证得Rt△CDE≌Rt△BDF；
②由HL证得Rt△ADE≌Rt△ADF得出AF=AE，由Rt△CDE≌Rt△BDF得出BF=CE，即可得出结果；
③由DE⊥AC，DF⊥AB，得出∠BAC+∠FDE=180°，由Rt△CDE≌Rt△BDF，得出∠FDB=∠EDC，∠FDE=∠BDC，即可得出结果；
④由∠BAC+∠BDC=180°，得出A、B、D、C四点共圆，得出∠BAD=∠BCD，即可得出结果．

解答 解：①∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），
∴①正确；
②在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AF=AE，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴BF=CE，
∴AB+AC=AB+AE+CE=AB+BF+AE=AF+AE=2AF，
∴②正确；
③∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BAC+∠FDE=180°，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠FDB=∠EDC，
∴∠FDE=∠BDC，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴③正确；
④∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴A、B、D、C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠BCD，
∴④正确；
综上所述：①②③④正确，
故选A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、四点共圆、同弧所对的圆周角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和四点共圆是解决问题的关键．