Question

8．如图，在等腰Rt△ABO中，∠OAB=Rt∠，点A，B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，点B在点A的右侧，若点A的横坐标为2，则k的值是2+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先根据已知构造矩形得出△AON≌△BAW，进而得出矩形面积为：S=ON•WN=k+$\frac{{k}^{2}}{4}$，从而得出S_△AOB=$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{k}{2}$，根据AO=AB，再表示出S_△AOB=2+$\frac{{k}^{2}}{8}$，利用两三角形面积相等即可得出k的值．

解答 解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，并延长MB，NA交于一点W，
∵∠WMO=∠MON=∠WNO=90°，
∴四边形MONW是矩形，
由点A的横坐标为2，则A点坐标为：（2，$\frac{k}{2}$），
∵等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴AB=AO，
∵∠OAB=90°，
∴∠BAW+∠OAN=90°，
∵∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BAW=∠AON，
在△AON和△BAW中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠W=∠ANO}\\{∠WAB=∠NOA}\\{AB=AO}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△BAW（AAS），
∴AW=NO，S_△AON=S_△BAW，
故WN=AW+AN=2+$\frac{k}{2}$，
∴矩形面积为：S=ON•WN=$\frac{k}{2}$（2+$\frac{k}{2}$）=k+$\frac{{k}^{2}}{4}$，
∵S_△MOB=S_△AON=S_△BAW=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{k}{2}$=$\frac{k}{2}$，
∴S_△AOB=k+$\frac{{k}^{2}}{4}$-3×$\frac{k}{2}$=$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{k}{2}$，
∵AN=2，ON=$\frac{k}{2}$，
∴AB=AO=$\sqrt{4+\frac{{k}^{2}}{4}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{4+\frac{{k}^{2}}{4}}$×$\sqrt{4+\frac{{k}^{2}}{4}}$=2+$\frac{{k}^{2}}{8}$，
∴$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{k}{2}$=2+$\frac{{k}^{2}}{8}$，
整理得出：
k²-4k-16=0，
解得：k₁=2+2$\sqrt{5}$，k₂=2-2$\sqrt{5}$（不合题意舍去）．
故答案为2+2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了反比例函数的综合应用以及全等三角形的判定与性质以及三角形面积求法等知识，根据已知用两种方法得出S_△AOB是解题关键．