Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（-4，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与边AB交于点D．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）求直线CD与x轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）令x=-4，找出D点的坐标，由待定系数法求出直线CD的函数解析式，再令y=0，解关于x的一元一次方程即可得出直线CD与x轴的交点坐标．

解答 解：（1）∵点C为线段AO的中点，
∴C点的坐标为（-2，1），
将点C（-2，1）代入到反比例函数$y=\frac{k}{x}$中得：
1=$\frac{k}{-2}$，解得：k=-2．
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．
（2）令x=-4，则y=-$\frac{2}{-4}$=$\frac{1}{2}$．
即点D的坐标为（-4，$\frac{1}{2}$）．
设直线CD的解析式为y=ax+b，
由点C、D在直线CD的图象上可知：
$\left\{\begin{array}{l}{1=-2a+b}\\{\frac{1}{2}=-4a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{2}$．
令y=0，则有$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{2}$=0，
解得：x=-6．
∴直线CD与x轴的交点坐标为（-6，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）由待定系数法求出直线CD的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．