题目内容

如图1，点A的坐标为（0，4），正比例函数y=kx（k＞0）．
探究1：当k=1时，则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为
 
；
当k=
3
时，则点A关于直线y=
3
x对称的对称点坐标为
 
；
探究2：当k=2时，求点A关于直线y=2x对称的对称点坐标；
应用：如图2，直线OB：y=mx，直线OC：y=
1
m
x，如y轴上点A关于OB对称的对称点为D，关于OC对称的对称点为G，当m=
 
时，四边形AOGD为菱形．
考点：一次函数综合题
专题：代数综合题,探究型
分析：点关于直线的对称点的坐标问题，一般先根据已知直线的斜率求得两对称点所在直线的斜率，写出两对称点所在的直线方程，联立两直线方程求得两对称点的中点坐标，利用中点坐标在已知直线上进行求解．
（1）关于y=x对称，根据规律即可得出．关于直线对称，先设出对称点坐标（x，y），再写出直线AF的直线方程，联立两直线方程求得中点坐标．进而求得F点坐标．
（2）方法同（1），因为要求求得m的值．所以坐标要带有m，求得的D点坐标代入到直线OC方程即可求得m的值．需注意直线OB与直线OC的斜率并未说明谁大谁小，所以要分情况讨论．
解答：解：（1）当k=1时，点A关于y=x的对称点为（4，0）比较简单，利用关于y=kx对称，横纵坐标交换位置即可．
当k=3时，设对称点F的坐标为（x，y），由于直线AF与直线y=
3
x垂直，
则直线AF的斜率为-
3
3
，直线AF的方程为：y-4=-
3
3
x．
与直线y=
3
x联立
y-4=-
3
3
x
y=
3
x
．
解得线段AF的中点坐标为（
3
，3），
又因为点A（0，4），
则点F（2
3
，2）．

（2）由菱形的对角线互相平分且垂直可得：点D在直线OC上，此时OD与AG才能垂直．
由对称可知：直线AD的斜率为-
1
m
．直线AD的方程为y-4=-
1
m
x．
联立方程
y=mx
y-4=-
1
m 
x
，
解得线段AD的中点坐标为（
4m
m2+1
，
4m2
m2+1
），
又∵点A（0，4）
则点D的坐标（
8m2
m2+1
，
8m2
m2+1
+4），
将点D的坐标代入到直线OC方程，解得m=±
3
，
由图可知直线的斜率为正，得m=
3
．
同理，当直线OB的斜率小于直线OC的斜率时，联立方程
y=
1
m
x
y-4=-mx
，
解得：m=
3
3

综上所得：m的值为
3
或
3
3
．
点评：考查了点关于直线的对称点的坐标问题，一般先根据已知直线的斜率求得两对称点所在直线的斜率，写出两对称点所在的直线方程，联立两直线方程求得两对称点的中点坐标，利用中点坐标在已知直线上进行求解．此类题求解思想比较简单，但是计算相对较繁琐．
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