Question

12．如图1，已知等腰△ABC中AB=AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F
（1）若AF=10，DF=3，试求EF的长；
（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），并直接写出EF、AF、DF三者的数量关系AF=2DF+EF．

Answer 1

分析 （1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，易证△ABF≌△ACF，即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF，进而可以求证△EBH≌△ABF，即可求得EH=AF，即可求得EF的长；
（2）设∠BAD=∠CAD=α、∠ACE=∠AEC=β，得∠CAE=180°-2β、∠BAE=2α+180-2β=60°，从而知∠BAD=∠BEF，在AF上截取AG=EF，连接BG、BF，证△ABG≌△EBF得AG=EF、BG=BF，即可知△BFG为等边三角形，可得AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF．

解答 解：（1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，

∵AB=AC，AD是BC中线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AB=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠BFH=∠EAB=60°，
∴△BFH为等边三角形，∠BFC=120°，
∴∠FBH=∠EBA=60°，FC=$\frac{DF}{cos∠DFC}$=6，
∴∠ABF=∠EBH，
在△EBH和△ABF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF=10，
∴EF=EH+HF=AF+FC=16；

（2）AF=2DF+EF，

∵△ABE为等边三角形，AB=AC，
∴AE=AB=AC，
设∠BAD=∠CAD=α，∠ACE=∠AEC=β，
∴∠CAE=180°-2β，
∴∠BAE=2α+180-2β=60°，
∴∠BAD=∠BEF，
在AF上截取AG=EF，连接BG、BF，
 在△ABG和△EBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠BAG=∠BEF}\\{AG=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△EBF（SAS），
∴AG=EF，BG=BF，
∴△BFG为等边三角形，
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF，
故答案为：AF=2DF+EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解题的关键．