Question

4．探索：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1；
…
（1）试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值
（2）判断2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1的值的个位数字是几．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出规律（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，利用所得规律将2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算得到结果，即可做出判断．

解答 解：（1）由题意知，（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，
∴2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=（2-1）×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）
=2⁷-1
=128-1
=127；

（2）2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1
=（2-1）×（2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁴-1，
∵2ⁿ的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2014÷4=503…2，
∵2²⁰¹⁴的个位数字是4，
∴2²⁰¹⁴-1的个位数字是3，
∴2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2+1的个位数字是3．

点评 本题主要考查数字的变化规律和尾数特征，根据题意得出（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1及2ⁿ的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环是解题的关键．