如图.已知在梯形ABCD中.AD∥BC.AB=AD=5.tan∠DBC=$\frac{3}{4}$．点E为线段BD上任意一点.过点E作EF∥CD.与BC相交于点F.连接CE．设BE=x.y=$\frac{{{S {△ECF}}}}{{{S {△BCD}}}}$．(1)求BD的长,(2)如果BC=BD.当△DCE是等腰三角形时.求x的值,(3)如果BC=10.求y关于x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$．点E为线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE．设BE=x，y=$\frac{{{S_{△ECF}}}}{{{S_{△BCD}}}}$．

（1）求BD的长；
（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

分析（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；
（2）分两种情况用锐角三角函数计算即可得出结论．
（3）首先利用平行线的性质得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；

解答解：（1）如图1，过A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，
∴cos∠ABD=$\frac{BH}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；

（2）∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，
∴①如图2，当CD=DE时，即：CD=DE=BD-BE=8-x，
过点D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，BD=8，
∴DG=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{4}{5}$BD=$\frac{32}{5}$，
∴CG=8-BG=$\frac{8}{5}$，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，DG²+CG²=CD²，
∴（$\frac{24}{5}$）²+（$\frac{8}{5}$）²=（8-x）²，
∴x=8+$\frac{8\sqrt{10}}{5}$（舍）或x=8-$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
②如图3，当CE=CD时，
过点C作CG⊥BD，
∴DG=EG=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，
∴BG=$\frac{32}{5}$，
∴DG=BD-BG=$\frac{8}{5}$，
∴x=BE=BD-DE=BD-2DG=$\frac{24}{5}$．
（3）如图4，过点D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，BD=8，
∴DG=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{32}{5}$，
∴CG=BC-BG=$\frac{18}{5}$，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=6，
在△BCD中，BD=8，BC=10，CD=6，
∴△BCD是直角三角形，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠BDC=90°，
在R△BEF中，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，BE=x，
∴BF=$\frac{5}{4}$x
∵BC=10，
∴FC=10-$\frac{5}{4}$x，
∴$\frac{{S}_{△FEC}}{{S}_{△EFB}}=\frac{FC}{BF}$=$\frac{10-\frac{5}{4}x}{\frac{5}{4}x}$，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴$\frac{{S}_{△FEB}}{{S}_{△BDC}}=（\frac{BF}{BC}）^{2}$=（$\frac{\frac{5}{4}x}{10}$）²，
∴$\frac{{S}_{△FEC}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{10-\frac{5}{4}x}{\frac{5}{4}x}$•（$\frac{\frac{5}{4}x}{10}$）²=-$\frac{1}{64}$x²+$\frac{1}{8}$x（0＜x＜8）