Question

7．探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．

Answer 1

分析 （1）根据巧分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；
（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．

解答 解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）∵∠MPN=α，
∴∠MPQ=$\frac{1}{2}$α或$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α；
深入研究：
（3）依题意有
①10t=60+$\frac{1}{2}$×60，
解得t=9；
②10t=2×60，
解得t=12；
③10t=60+2×60，
解得t=18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）依题意有
①10t=$\frac{1}{3}$（5t+60），
解得t=2.4；
②10t=$\frac{1}{2}$（5t+60），
解得t=4；
③10t=$\frac{2}{3}$（5t+60），
解得t=6．
故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
故答案为：是；$\frac{1}{2}$α或$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α．

点评 本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”．的定义是解题的关键．